$compile_dirクラス変数コンパイルされたテンプレートが置かれるディレクトリ

コンパイルされたテンプレートが置かれるディレクトリです。
デフォルトは ./templates_c で、これは実行中の PHP スクリプトが置かれた場所にある templates_c/ ディレクトリを探します。
このディレクトリは web サーバが書き込み可能でなければなりません。

この設定は相対パス又は絶対パスである必要があります。
include_path はファイル書き込み時には使用されません。

テンプレートファイルを閲覧されてしまうため、このディレクトリをwebサーバのドキュメントルート下に置くことは避けたほうがいいです。
ドキュメントルート下に置かざる得ない場合は、.htaccess などでアクセス制限を設定してください。